M27 : Module de topologie
Chapitre I : Espaces métriques
- Définition et exemples d’espaces métriques
- Boules, ouvert fermé et voisinage
- Suites et fonctions dans les espaces métriques
- Espace métrique complet
- Prolongement des applications uniformément continues
- Définitions de compact et caractérisation par le théorème de Bolzano Weirstrass
- Fonction continue sur un compact, théorème de Heine
Chapitre II: Espaces topologiques
- Définition et exemples d’espaces topologiques
- Topologie induite : ouverts et fermés relatifs
- Intérieur, adhérence, frontière, point isolé, point d’accumulation
- Suites et fonctions dans les espaces topologiques
- Topologie produit
- Espaces compacts et localement compacts
- Espaces connexes
Chapitre III: Quelques théorèmes d’analyse
- Théorème du point fixe de Banach , exemples d’application
- Famille équicontinue, théorème d’Ascoli
- Théorème de Stone Weirstrass
M28 : Module d’Intégration
− Clans, tribus et mesures. Mesure de Lebesgue dans R (comme conséquence d'un
théorème de prolongement. Fonctions mesurables. Construction de l'intégrale.
Fonctions intégrables.
− Théorèmes de convergences et applications (Convergence monotone,
convergence dominée, intégrales dépendant d'un paramètre).
− Liens entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue. Tribu produit et
mesure produit. Théorèmes de Fubini. Théorème de changement de variables.
Complétude des espaces Lp.
M29 : Module de calcul differentiel
Partie I : Espaces vectoriels normés et espaces de Banach
- Définition et exemples d’espaces vectoriels normés
- Espaces vectoriels normés de dimension finie
- Applications linéaires continues
- Applications multilinéaires continues
- Définition et exemples d’espaces de Banach
- Séries dans les espaces vectoriels normés et caractérisation de la complétude
Partie II : Calcul différentiel dans les espaces de Banach
- Définition et exemples d’applications différentiables
- Différentielle de la composée
- Différentielle d’une application à valeurs dans un espace produit
- Différentielle d’une application définie sur un espace produit, différentielle
partielle
- Théorème des accroissements finis et ses applications
- Théorèmes des fonctions implicites et d’inversion locale
- Différentielle d’ordre supérieur
- Formules de Taylor
- Extremum
M30 : Module de Programmation Mathématique
Chapitre 1 : Notions fondamentales (3 séances=4h30)
− Introduction : Problème d’optimisation, Problème d’optimisation linéaire,
Problème d’optimisation convexe, Problème d’optimisation non linéaire.
− Ensembles convexes dans Rn : Définitions et propriétés, Exemples d’ensembles
convexes, Operations sur les ensembles convexes, Projection sur un ensemble
convexe fermé et séparation de convexes.
− Fonctions convexes : Définitions et propriétés, Exemples de fonctions convexes,
Opérations sur les fonctions convexes, Caractérisation des fonctions convexes
Chapitre 2 : Optimisation différentiable sans contraintes
(2 séances=3h)
− Conditions d’optimalité : Définitions, Conditions d’optimalité du premier et du
second ordre.
− Méthodes d’optimisation : Méthodes du premier ordre (Principe des méthodes de
descente), Méthode du gradient.
Chapitre 3 : Optimisation différentiable avec contraintes (2 séances=3h)
− Conditions d’optimalité du premier ordre : Hypothèse de qualifications,
Conditions nécessaires de Karush-Kuhn-Tucker.
Chapitre 4 : Méthodes de résolutions pour les problèmes avec
contraintes. (6 séances=9h)
− Cas des problèmes linéaires (5 séances =7h30) : Définitions et propriétés,
Principe de résolution géométrique, Caractérisation des points extrêmes d’un
polyèdre, Théorèmes fondamentaux de la programmation linéaire (dualité
comprise), La méthode du simplexe.
− Méthode des plans sécants de Kelley (1séance=1h30)
M31 : Module d’ Analyse numérique 2
(cours : 19h30, TD :10h30, TP : 12h)
Chapitre 1 : Résolution numérique d’un système d’équations non
linéaires (3 séances) :
Méthode de Newton et variantes, méthode de point fixe. Etude de la convergence.
Chapitre 2 Approximation de valeurs et vecteurs propres (4 séances):
Méthode de la puissance itérée, méthode de la puissance inverse, méthode QR. Etude
des cas de matrices symétriques et des matrices tridiagonales.
Chapitre3 Méthode des différences finies en dimension 1 et 2 (4 séances) :
Problème de Cauchy et problèmes aux limites.
Chapitre 4 Introduction à la méthode des éléments finis en dimension 1 ( 2 séances).
M32 : MODULE d’Informatique 5 :
PROGRAMMATION ORIENTEE OBJETS (LANGAGE : JAVA ou C++)
− Paradigme de programmation
− Introduction à la programmation orientée objets
− Notion de type abstrait
− Notions de classe et objets
− Concepts fondamentaux de l’orienté objets (encapsulation, abstraction de
données)
− Interaction : Association, agrégation
− Réutiliser, étendre : Héritage, généricité
− Liaison dynamique : polymorphisme
− Application à un langage orienté objets (Java ou C++)
