Cour et exercice et examens corriges d'integration et topologie
La topologie est une branche des mathématiques portant sur des ensembles munis d’une notion de voisinage autour de chaque point, et qu’on appelle espaces topologiques, ainsi que sur les applications continues entre ces espaces, qui préservent cette notion. Informellement, on considère des espaces à déformation près sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre. Ainsi, on identifie le cercle et l’ellipse, ou la couronne et la paroi latérale d’un cylindre de révolution, c’est-à-dire qu’ils sont respectivement homéomorphes.
La définition du voisinage est parfois induite par une distance entre les points, ce qui donne une structure d’espace métrique. C’est le cas notamment de la droite réelle, du plan, de l’espace tridimensionnel ou plus généralement d’un espace euclidien, et de leurs sous-ensemble comme le cercle, la sphère, le tore et d’autres variétés riemanniennes.
Dans un espace topologique, la notion locale de voisinage peut être remplacée par la notion globale d’ouvert, qui est un voisinage de chacun de ses points. L’ensemble des ouverts est également appelé « topologie ». Cette topologie peut être compatible avec une structure algébrique, d’où la définition de groupe topologique et d’espace vectoriel topologique, en particulier en analyse fonctionnelle.
La topologie générale définit les notions et constructions usuelles d’espaces topologiques. La topologie algébrique associe à chaque espace topologique des invariants algébriques comme des nombres, des groupes, des modules ou des anneaux qui permettent de les distinguer, en particulier dans le cadre de la théorie des nœuds. La topologie différentielle se restreint à l’étude des variétés différentielles, dans lesquelles chaque point admet un voisinage homéomorphe à une boule de dimension finie.
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