Examens de tous les modules du SMA s5 non corrigé

Examens de tous les modules du SMA s5 non corrigé

Contenu des Modules de S5

M27 : Module de topologie

Chapitre I : Espaces métriques

- Définition et exemples d’espaces métriques

- Boules, ouvert fermé et voisinage

- Suites et fonctions dans les espaces métriques

- Espace métrique complet

- Prolongement des applications uniformément continues

- Définitions de compact et caractérisation par le théorème de Bolzano Weirstrass

- Fonction continue sur un compact, théorème de Heine

Chapitre II: Espaces topologiques

- Définition et exemples d’espaces topologiques

- Topologie induite : ouverts et fermés relatifs

- Intérieur, adhérence, frontière, point isolé, point d’accumulation

- Suites et fonctions dans les espaces topologiques

- Topologie produit

- Espaces compacts et localement compacts

- Espaces connexes

Chapitre III: Quelques théorèmes d’analyse

- Théorème du point fixe de Banach , exemples d’application

- Famille équicontinue, théorème d’Ascoli

- Théorème de Stone Weirstrass

M28 : Module d’Intégration

− Clans, tribus et mesures. Mesure de Lebesgue dans R (comme conséquence d'un

théorème de prolongement. Fonctions mesurables. Construction de l'intégrale.

Fonctions intégrables.

− Théorèmes de convergences et applications (Convergence monotone,

convergence dominée, intégrales dépendant d'un paramètre).

− Liens entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue. Tribu produit et

mesure produit. Théorèmes de Fubini. Théorème de changement de variables.

Complétude des espaces Lp.

M29 : Module de calcul differentiel

Partie I : Espaces vectoriels normés et espaces de Banach

- Définition et exemples d’espaces vectoriels normés

- Espaces vectoriels normés de dimension finie

- Applications linéaires continues

- Applications multilinéaires continues

- Définition et exemples d’espaces de Banach

- Séries dans les espaces vectoriels normés et caractérisation de la complétude

Partie II : Calcul différentiel dans les espaces de Banach

- Définition et exemples d’applications différentiables

- Différentielle de la composée

- Différentielle d’une application à valeurs dans un espace produit

- Différentielle d’une application définie sur un espace produit, différentielle

partielle

- Théorème des accroissements finis et ses applications

- Théorèmes des fonctions implicites et d’inversion locale

- Différentielle d’ordre supérieur

- Formules de Taylor

- Extremum

M30 : Module de Programmation Mathématique

Chapitre 1 : Notions fondamentales (3 séances=4h30)

− Introduction : Problème d’optimisation, Problème d’optimisation linéaire,

Problème d’optimisation convexe, Problème d’optimisation non linéaire.

− Ensembles convexes dans Rn : Définitions et propriétés, Exemples d’ensembles

convexes, Operations sur les ensembles convexes, Projection sur un ensemble

convexe fermé et séparation de convexes.

− Fonctions convexes : Définitions et propriétés, Exemples de fonctions convexes,

Opérations sur les fonctions convexes, Caractérisation des fonctions convexes

 Chapitre 2 : Optimisation différentiable sans contraintes

 (2 séances=3h)

− Conditions d’optimalité : Définitions, Conditions d’optimalité du premier et du

second ordre.

− Méthodes d’optimisation : Méthodes du premier ordre (Principe des méthodes de

descente), Méthode du gradient.

Chapitre 3 : Optimisation différentiable avec contraintes (2 séances=3h)

− Conditions d’optimalité du premier ordre : Hypothèse de qualifications,

Conditions nécessaires de Karush-Kuhn-Tucker.

Chapitre 4 : Méthodes de résolutions pour les problèmes avec

contraintes.  (6 séances=9h)

− Cas des problèmes linéaires (5 séances =7h30) : Définitions et propriétés,

Principe de résolution géométrique, Caractérisation des points extrêmes d’un

polyèdre, Théorèmes fondamentaux de la programmation linéaire (dualité

comprise), La méthode du simplexe.

− Méthode des plans sécants de Kelley (1séance=1h30)

M31 : Module d’ Analyse numérique 2

(cours : 19h30, TD :10h30, TP : 12h)

Chapitre 1 : Résolution numérique d’un système d’équations non

linéaires (3 séances) :

Méthode de Newton et variantes, méthode de point fixe. Etude de la convergence.

Chapitre 2 Approximation de valeurs et vecteurs propres (4 séances):

 Méthode de la puissance itérée, méthode de la puissance inverse, méthode QR. Etude

des cas de matrices symétriques et des matrices tridiagonales.

Chapitre3 Méthode des différences finies en dimension 1 et 2 (4 séances) :

Problème de Cauchy et problèmes aux limites.

Chapitre 4 Introduction à la méthode des éléments finis en dimension 1 ( 2 séances).

M32 : MODULE d’Informatique 5 :

PROGRAMMATION ORIENTEE OBJETS (LANGAGE : JAVA ou C++)

− Paradigme de programmation

− Introduction à la programmation orientée objets

− Notion de type abstrait

− Notions de classe et objets

− Concepts fondamentaux de l’orienté objets (encapsulation, abstraction de

données)

− Interaction : Association, agrégation

− Réutiliser, étendre : Héritage, généricité

− Liaison dynamique : polymorphisme

− Application à un langage orienté objets (Java ou C++)

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