TD analyse numérique sma s4
Exercice 7.1. — (Erreurs d’arrondi)
Exercice 7.1. — (Erreurs d’arrondi)
Soit S une sph`ere dans R 3 De rayon R et tangente `a un seul plan de coordonnées. Soit une autre sph`ere s, de rayon r et tangente au plan de coordonnées et ` S.
1. Faire un dessin, et trouver le rapport des volumes de 2 spheres z = v/V .
2. V´erifier que z = (√2 − 1)6= (3 − 2√2)3= 99 − 70√2. Faire un tableau de z en fonction des valeurs de
√2 approch´ee par : 1.4, 1.414 , 1.4142136 .
1. Faire un dessin, et trouver le rapport des volumes de 2 spheres z = v/V .
2. V´erifier que z = (√2 − 1)6= (3 − 2√2)3= 99 − 70√2. Faire un tableau de z en fonction des valeurs de
√2 approch´ee par : 1.4, 1.414 , 1.4142136 .
Exercise 7.2. — 1. Les matrices suivantes sont elles sym´etriques, hermitiennes :
2. Soit A une matrice sym´etrique. Montrer que A hermitienne ssi A r´eelle.
3. Montrer que (Ax, y) = (x,A∗
y) dans CN et (Ax, y) = (x,tAy) dans RN.
4. Soit A une matrice d´efinie positive alors les ´el´ements diagonaux sont strictement positifs.
5. Soit A une matrice unitaire (ou orthogonale) alors kAxk2 = kxk2 et |detA| = 1.
6. Montrer que les matrices semblables ont le mˆeme polynˆome caract´eristique.
7. Montrer que si A est hermitienne alors ses valeurs propres sont r´eelles.
8. Montrer que toute matrice sym´etrique r´eelle est d´efinie positive ssi toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
9. Soient A et B deux matrices diagonalizable. Montrer que si elles ont les même vecteurs propres alors elles commutent entre elles.
2. Soit A une matrice sym´etrique. Montrer que A hermitienne ssi A r´eelle.
3. Montrer que (Ax, y) = (x,A∗
y) dans CN et (Ax, y) = (x,tAy) dans RN.
4. Soit A une matrice d´efinie positive alors les ´el´ements diagonaux sont strictement positifs.
5. Soit A une matrice unitaire (ou orthogonale) alors kAxk2 = kxk2 et |detA| = 1.
6. Montrer que les matrices semblables ont le mˆeme polynˆome caract´eristique.
7. Montrer que si A est hermitienne alors ses valeurs propres sont r´eelles.
8. Montrer que toute matrice sym´etrique r´eelle est d´efinie positive ssi toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
9. Soient A et B deux matrices diagonalizable. Montrer que si elles ont les même vecteurs propres alors elles commutent entre elles.
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